Що таке прямокутний трикутник

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то прямокутний трикутник має лише один прямий кут. Два інші кути прямокутного трикутника гострі. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 180 ° – 90 ° = 90 °.

Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються катетами (рис. 82). Зазначимо наступну ознаку рівності прямокутних трикутників з гіпотенузи та катету:

Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 83)

Завдання (43). Доведіть, що у прямокутному трикутнику з кутом 30° катет, що протилежить цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.

Рішення. Нехай ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом С та кутом В, рівним 30° (рис. 84). Побудуємо трикутник DBC, що дорівнює трикутнику ABC, як показано на малюнку 84.

У трикутника ABD усі кути дорівнюють (60°), тому він рівносторонній. Оскільки AC = одна друга

AD, а AD = AB,


то АС = одна друга

АВ. Що й потрібно було довести.

Нагадаємо, що прямокутним трикутником називають треуг-к, один із кутів якого дорівнює 90°.

Покажемо кілька малюнків, на яких зображені прямокутні трикутники:

Той кут, який дорівнює 90 ° (його ще називають прямим), відзначається квадратиком.

Чи може трикутний прямокутник мати два чи три прямі кути? Звичайно, ні, тому що сума кутів трикутника повинна дорівнювати 180°. Звідси випливає очевидний факт – ті 2 кути прямокутного трикутника, які не рівні 90 °, повинні бути гострими. Крім того, можна стверджувати, що їх сума рівно 90°.

Завдання.

У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 40°. Що таке другий гострий кут?

Рішення.

Позначимо невідомий кут як ∠1. Сума гострих кутів повинна дорівнювати 90°, тому можна записати рівняння: складіть рівняння самостійно.

Цю відповідь можна отримати дещо іншим шляхом. Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°. Одна з них має кут 40°, а друга — 90°. Тобто можна скласти таке рівняння: складіть рівняння самостійно.

Перший спосіб відрізняється лише тим, що вимагає більш простих розрахунків.

Відповідь: 50°

Завдання.

Рішення.

Знайдіть усі кути трикутника, який одночасно є і прямокутним, і рівнобедреним.

У будь-якого рівнобедреного трикутника є два однакових кута при підставі.

Зрозуміло, що у прямокутному треуг-ке може бути двох прямих кутів, тому рівні один одному гострі кути. Позначимо величину одного з них як х .

Обидва кути рівні , тому можна записати рівняння: запишіть рівняння самостійно.

Виходить, що в рівнобедреному прямокутному трикутнику два кути дорівнюють 45°, а один – 90°.

Сторони прямокутного трикутника мають особливі назви. Та сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою прямокутного трикутника, а інші дві сторони називають катетами.

По малюнку видно, що гіпотенуза довша за катети. І це правило виконується всім прямокутних треуг-ков. Насправді, у будь-якому треуг-ке проти найбільшого кута лежить найбільша сторона. Катети лежать проти гострих кутів, а гіпотенуза проти прямого кута, і тому вона довша.

Завдання.

Рішення.

Доведіть, що у триуг-ке з однієї вершини провести і медіану, і висоту, то медіана буде менше висоти.

Нагадаємо, що висота – це відрізок, опущений на бік під прямим кутом, а медіана – відрізок, проведений до середини протилежної сторони. У принципі, ці два відрізки можуть збігтися один з одним, і тоді їхні довжини дорівнюють. Розглянемо випадок, коли медіана та висота не збігаються:

Позначимо літерою М середину АС, тоді ВМ – медіана. Висоту позначимо як ВН. В результаті у нас утворюється ∆МВН, причому кут на перетині ВН та АC( ∠BHM ) дорівнює 90°. У цьому трикутнику медіана виявляється гіпотенузою, а висота – катетом прямокутного трикутника. Так як гіпотенуза завжди довша катета, то і МВ довше ВН.

Висота прямокутного трикутника

Згадаймо визначення. Висота трикутника це перпендикуляр, опущений з його вершини на протилежну сторону.

У прямокутному трикутнику катети є висотами один до одного. Головний інтерес становить висота, проведена до гіпотенузи.

Один із типів екзаменаційних завдань у банку завдань ФІПД — такі, де у прямокутному трикутнику висота проведена з вершини прямого кута. Подивимося, що виходить:

sin A

cos A

Висота проведена до гіпотенузи AB. Вона ділить трикутник 

на два прямокутні трикутники — 

і 

 Дивимося уважно на малюнок і знаходимо на ньому рівні кути . Це і є ключем до завдань з геометрії, у яких висота опущена на гіпотенузу.

Ми пам’ятаємо, що сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 

. Значить, 

тобто кут 

дорівнює куту 

 Аналогічно, кут 

дорівнює куту 

Інакше кажучи, кожен із трьох кутів трикутника 

дорівнює одному з кутів трикутника 

(і трикутника 

). Трикутники 

і 

називаються такими. Давайте намалюємо їх поряд один з одним.

Вони відрізняються лише розмірами. Сторони таких трикутників пропорційні . Що це означає?

Візьмемо трикутники

та 

Сторони трикутника

довші, ніж сторони трикутника 

в раз:

Ми довели властивість висоти прямокутного трикутника. Його можна сформулювати як теорему.

Теорема 1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута на гіпотенузу, ділить трикутника на три подібні трикутники:

При вирішенні завдань нам знадобиться рівність кутів трикутників 

і 

, а також пропорційність їх сторін. Зверніть також увагу, що площу трикутника 

можна записати двома різними способами: як половину добутку катетів і як половину добутку гіпотенузи на проведену до неї висоту. У геометрії це називається «метод площ» і часто застосовується у вирішенні завдань.

Завдання 1.

У трикутнику 

кут С

дорівнює 

CH — висота, BC = 3,

cos A = 

Знайдіть AH.

Рішення:

Розглянемо трикутник ABC. У ньому відомі косинус кута A та протилежний катет BC. Знаючи синус кута A, можна знайти гіпотенузу AB. Тож давайте знайдемо sin A:

sin 

+cos 

=1.

Ця формула – основне тригонометричне тотожність. Звичайно, ви його знаєте:

sin

sin

sin A (оскільки значення синуса гострого кута позитивне).

Тоді:

Розглянемо прямокутний трикутник . Оскільки

Звідси

Відповідь:

Завдання 2.

У трикутнику ABC кут C дорівнює 90 AB = 13, tg A . До гіпотенузи проведена висота СН. Знайдіть AH.

Рішення:

Це трохи складніше завдання. Адже вам невідомі катети a та b.

Запишемо теорему Піфагора: (1)

Нам відомо також, що:

tg A (2)

Вирішуючи рівняння (1) і (2), знайдемо:

Запишемо площу трикутника AВС двома способами:

і знайдемо довжину .

Знайти висоту, проведену з вершини прямого кута, можна було й іншим способом. Ми обрали найкоротший шлях — склали і вирішили систему рівнянь, як у алгебрі.

Теорема 2. У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.

Доведення:

З прямокутного трикутника ABC з прямим кутом C та гіпотенузою AB:

sin

З прямокутного трикутника AНС із прямим кутом Н і гіпотенузою AС:

sin

Ми різними способами вирахували синус одного й того самого кута. Прирівняємо отримані вирази:

Знайдемо висоту:

Що й потрібно було довести.

Завдання 3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 і 20.


Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Рішення:

Скористаємося теоремою 2 про висоту прямокутного трикутника:

Катети ВС і АС нам відомі: BC = 15, AC = 20. Знайдемо гіпотенузу AB за допомогою теореми Піфагора:

Знайдемо висоту, проведену з вершини прямого кута:

Відповідь: 12.

Теорема 3. У прямокутному трикутнику квадрат висоти, проведеної з вершини прямого кута, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.

Нині ми доведемо цю корисну формулу.

Згадаймо, що таке проекція крапки на пряму. Наприклад, з точки С опускаємо СН – перпендикуляр до прямої АВ. Точка Н буде проекцією точки С. Тоді AН – проекція катета AВ, а BН – проекція катета BС.

Позначимо:

Доказ проведемо двома способами.

Перший спосіб доказу:

З прямокутного трикутника BНС з прямим кутом Н і гіпотенузою BС:

tg

З прямокутного трикутника AНС із прямим кутом Н і гіпотенузою AС:

ctg

Зауважимо, що кут CBН – це кут CBA, а кут CAН – це кут BAC. Тоді:

tg

tg

Ми скористалися тим, що тангенс та котангенс двох різних гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють один одному. Це випливає з визначення тангенсу та котангенсу.

Перетворимо вираз, що вийшов:

Що й потрібно було довести.

Другий спосіб доказу:

Скористаємося подобою трикутників, про які йдеться у теоремі 1.

Розглянемо пару прямокутних трикутників ANC і BNC. Як було показано вище, ці трикутники подібні до двох кутів, тому

Ми отримали таке саме співвідношення, як і в першому способі доказу.

Далі аналогічно отримаємо, що

Що й потрібно було довести.

Завдання 4. На гіпотенузу AB прямокутного трикутника ABC опущена висота CH, AH = 4, BH = 16. Знайдіть довжину CH.

Рішення:

Скористаємося теоремою 3 про висоту прямокутного трикутника:

Підставимо ці завдання.

CH = 8.

Відповідь: 8.

Розберемо розв’язання інших завдань ОГЕ та ЄДІ на тему «Властивості висоти у прямокутному трикутнику».

Завдання 5. Катети прямокутного трикутника відносяться як 3:4, а гіпотенуза дорівнює 50. Знайти висоту, проведену з вершини прямого кута та відрізки, на які гіпотенуза поділяється заввишки.

Рішення:

Розглянемо прямокутний трикутник ABС із гіпотенузою AB. Проведемо висоту CD = h.

З огляду на відношення катетів, позначимо їх довжини як: BC = 3x, AC = 4x.

Тоді за теоремою Піфагора отримаємо:

За умовою гіпотенуза AB=50. Отже, х=10, BC=30, AC=40.

Далі можна діяти у різний спосіб. Наприклад, так.

де за визначенням косинуса:

cos A cos B

Відповідь:

Завдання 6. У прямокутному трикутнику ABC висота CD поділяє гіпотенузу на відрізки AD = 3 см та BD = 2 см. Знайти катети трикутника.

Рішення:

Знайдемо квадрат довжини висоти за допомогою теореми 3:

З прямокутного трикутника ADC з теореми Піфагора знайдемо

див.

З прямокутного трикутника BDC з теореми Піфагора знайдемо

див.

Відповідь: див і див.

Завдання 7. Точка D є основою висоти, проведеної з вершини прямого кута трикутника ABC до гіпотенузи AB. Знайдіть AC, якщо AD = 8, AB = 32.

Вказівка:

Знайдіть відрізок BD = AB – AD, після чого завдання зводиться до попередньої.

Довжину висоти прямокутного трикутника можна знайти, якщо відомі гіпотенуза і один з гострих кутів трикутника.

h = c sin cos = c sin cos

Доведемо цю формулу.

Розглянемо прямокутний трикутник ACD:

У той же час із трикутника AВС:

Таким чином, h = CD = AC cos ⁡ = AB sin cos = c sin cos ⁡

Аналогічно з трикутника BCD отримаємо: h = CD = BC cos = AB sin ? cos = c sin cos ?

Задача 8. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 10, а один із гострих кутів 15 градусів. Знайти висоту з вершини прямого кута.

Рішення:

Скористаємося доведеною вище формулою:

h = c sin cos = 10 sin cos = 5 sin = 2,5.

Відповідь: 2,5.

Завдання 9. Висота прямокутного трикутника ділить його гіпотенузу на відрізки 6 см і 4 см. Знайдіть площу цього трикутника.

Рішення:

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює сумі даних відрізків:

див.

Знайдемо висоту, проведену з вершини прямого кута до гіпотенузи: див.

Площа трикутника:

см

Відповідь: 

см.

Усі основні формули площі прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник , так само як і будь-який інший трикутник, має три сторони та три кути. Різниця тільки в тому, що один кут прямий, тобто 90 градусів і два інші, гострі кути в сумі складають, теж 90 градусів.


Дві сторони, які формують прямий кут, називають катетами , а третя сторона навпроти прямого кута, називається – гіпотенуза

1. Якщо відомі лише катети

a ,  b  – катети трикутника

Формула площі трикутника через катети ( S ):  

2. Якщо відомі гострий кут і гіпотенуза чи катет

c  – гіпотенуза

a , b  – катети

α ,  β  – гострі кути

Формули площі прямокутного трикутника через гіпотенузу та кут ( S ):  

Формули площі прямокутного трикутника через катет та кут ( S ):  

Як відомо, сума гострих кутів у прямокутному трикутнику дорівнює 90 градусів, а якщо

то справедливі такі тотожності:

3. Якщо відомі радіус вписаного кола та гіпотенуза

c – гіпотенуза

c ₁ c ₂  – відрізки отримані розподілом гіпотенузи, точкою торканнякола 

r  – радіус вписаного кола

О  – центр вписаного кола

Формули площі прямокутного трикутника через радіус вписаного кола та гіпотенузу ( S ):  

Дякуємо за те, що користуйтесь нашими публікаціями. Інформація на сторінці «Висота у прямокутному трикутнику» підготовлена ​​нашими авторами спеціально, щоб допомогти вам у освоєнні предмета та підготовці до ЗНО. Щоб успішно здати необхідні екзамени та вступити до ВУЗу або коледжу, потрібно використовувати всі інструменти: навчання, контрольні, олімпіади, онлайн-лекції, відеоуроки, збірники завдань. Також ви можете скористатися іншими матеріалами із розділів нашого сайту.